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\documentclass[10pt]{article} 

\input{wang_preamble.tex}

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\usepackage{titling}
\setlength{\droptitle}{-2cm}   % This is your set screw

%%文档的题目、作者与日期
%\author{王立庆（2024级数学与应用数学1班）}
\author{学号 \underline{\hspace{4cm}} \hspace{1cm} 姓名 \underline{\hspace{4cm}} }
\title{高等代数测验 - 行列式 - 解答}
%\date{\vspace{-3ex}}
%\renewcommand{\today}{\number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日}
\date{2024 年 10 月 24 日}

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\begin{document}

\maketitle


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\begin{enumerate}\itemsep1.8em

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\item  %1
计算排列的逆序数： $\pi(563142879)$, $\pi(523146879)$, $\pi(987654321)$, $\pi(81726354)$. 

\begin{tasks}(4)
\task [A.]  12, 7, 36, 16.
\task [B.]  11, 8, 35, 15.
\task [C.]  10, 9, 34, 14.
\task [D.]  9, 10, 33, 13. 
\end{tasks}

{\color{red} 解答：A. 按定义，逆序数是前大后小的数对的个数。

\begin{lstlisting}[language=R]
#x=c(5,6,3,1,4,2,8,7,9)
#x=c(5,2,3,1,4,6,8,7,9)
#x=c(9,8,7,6,5,4,3,2,1)
x=c(8,1,7,2,6,3,5,4)
s=0
for (k in 1:(length(x)-1)){
  for (m in (k+1):length(x)){
    if (x[k]>x[m]) s=s+1
  }
}
print(s)
\end{lstlisting}

}

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\item %2 
求行列式  
$f(x)=\begin{vmatrix}
2 & x & -5 & 3 \\
1 & 2 & 3 & 4 \\
-1 & 0 & -2 & -3 \\
-1 & 7 & -2 & -2
\end{vmatrix}$ 的 $x$ 的系数。 

\begin{tasks}(4)
\task [A.]  $1$.
\task [B.]  $-1$.
\task [C.]  $2$.
\task [D.]  $-2$.
\end{tasks}

{\color{red} 解答：B. 这个行列式只在 (1,2) 位置有 $x$, 因此按第一行展开，可得 $x$ 的系数为
\[ -\begin{vmatrix}
1 & 3 & 4 \\
-1 & -2 & -3 \\
-1 & -2 & -2
\end{vmatrix} = -1. \]

\begin{lstlisting}[language=R]
A=matrix(c(1,3,4,-1,-2,-3,-1,-2,-2),nrow=3,byrow=T)
print(det(A))
\end{lstlisting}
}

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\item %3
求 10 阶行列式 
$D=\begin{vmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\
1& 0 & \cdots & 0 & 0
\end{vmatrix}$ 的值。

\begin{tasks}(4)
\task [A.]  $1$.
\task [B.]  $-1$.
\task [C.]  $10$.
\task [D.]  $-10$. 
\end{tasks}

{\color{red} 解答：B. 按照逆序数的方式，记 $\sigma=(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)$, 则 
$$D=(-1)^\pi(\sigma)1^{10}=(-1)^{45}=-1.$$

}

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\item  %4
求行列式
$D=\begin{vmatrix}
0 & a & 0 & 0 \\
b & c & 0 & 0 \\
0 & 0 & d & e \\
0 & 0 & 0 & f
\end{vmatrix}$
的值。

\begin{tasks}(4)
\task [A.]  $abdf$.
\task [B.]  $-abdf$.
\task [C.]  $acef$. 
\task [D.]  $-acef$.
\end{tasks}

{\color{red} 解答：B. 第一行只能取 $a$. 第二行只能取 $b$. 第四行只能取 $f$. 第三行只能取 $d$. 这些项的列指标的排列为 
$\sigma=(2134)$, 其逆序数为 $\pi(\sigma)=1$, 所以这个行列式的值为 
$$D=(-1)^1 abcd=-abdf.$$


}

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\item  %5
求行列式 
$D=\begin{vmatrix}
8 & 27 & 64 & 125 \\
4 & 9 & 16 & 25 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}$ 的值。

\begin{tasks}(4)
\task [A.]  10.
\task [B.]  11.
\task [C.]  12.
\task [D.]  13.
\end{tasks}

{\color{red} 解答：C. 用行初等变换，化为上三角行列式。

\begin{lstlisting}[language=R]
A=matrix(c(8,27,64,125,4,9,16,25,2,3,4,5,1,1,1,1),nrow=4,byrow=T)
print(det(A))
\end{lstlisting}


}


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\item  %6
若 
$d=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix}$, 
那么行列式 
$D=\begin{vmatrix}
3a_{31} & 3a_{32} & 3a_{33} \\
2a_{21} & 2a_{22} & 2a_{23} \\
-a_{11} & -a_{12} & -a_{13} \\
\end{vmatrix}$ 
的值是多少？

\begin{tasks}(4)
\task [A.]  $d$. 
\task [B.]  $2d$. 
\task [C.]  $3d$. 
\task [D.]  $6d$. 
\end{tasks}

{\color{red} 解答：D. 将行列式 $D$ 提出每第一、二、三行的公因式 $3$, $2$ 与 $-1$,  然后交换第一、三行，得到行列式 $d$. 所以 $D=(3)(2)(-1)(-d)=6d$. 

}

%\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %7
考虑下述行列式，
\( D=\begin{vmatrix}
a&0&0&b \\
0&c&d&0 \\
0&e&f&0 \\
g&0&0&h \\
\end{vmatrix}. \)
(a) 按第一列展开的方式计算  \ (b) 按排列组合的方式计算。

\begin{tasks}(2)
\task [A.]  $acfh-adeh+bdeg-bcfg$. 
\task [B.]  $acfh+adeh+bdeg+bcfg$. 
\task [C.]  $-acfh-adeh+bdeg+bcfg$. 
\task [D.]  $acfh+adeh-bdeg-bcfg$. 
\end{tasks}

{\color{red} 解答：A. 按拉普拉斯展开方法，固定第一、四行，则得 
$$D=(-1)^{1+4+1+4}(ah-bg)(cf-de)=(ah-bg)(cf-de).$$

}

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\item %8
使用行列式的性质计算行列式
$D=\begin{vmatrix}
1+a_1 & 2+a_1 & 3+a_1 \\
1+a_2 & 2+a_2 & 3+a_2 \\
1+a_3 & 2+a_3 & 3+a_3 \\
\end{vmatrix}$ 的值。

\begin{tasks}(4)
\task [A.]  $0$. 
\task [B.]  $1$.
\task [C.]  $2$. 
\task [D.]  $3$. 
\end{tasks}

{\color{red} 解答：A. 将第一列乘以 $(-1)$ 加到第二列、第三列，可得第二、三列成比例。所以 $D=0$. 

}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %9
使用行列式的性质计算行列式
$D_4=\begin{vmatrix}
0&1&1&1 \\
1&0&1&1 \\
1&1&0&1 \\
1&1&1&0 \\
\end{vmatrix}$ 
的值，并推广到 $10$ 阶的情形，即对角线元素都是零，其余元素都是1的 $10$ 阶行列式 $D_{10}$. 它们的值分别是多少？

\begin{tasks}(4)
\task [A.]  $3,9$. 
\task [B.]  $3,-9$. 
\task [C.]  $-3,9$. 
\task [D.]  $-3,-9$.
\end{tasks}

{\color{red} 解答：D. 将行列式 $D_4$ 的其余行都加到第一行，第一行都变成3. 提出公因子3，然后将第一行乘以 $-1$ 加到其余行，得到只有对角线成为 $-1$, 其余元素成为零。所以 $D_4=-3$. 同样可得 $D_{10}=-9$. 

}

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\item %10
确定在6阶行列式 $|a_{ij}|_{6\times 6}$ 中，下述两项前面的符号，
(a) $a_{23}a_{31}a_{42}a_{56}a_{14}a_{65}$.
(b) $a_{21}a_{13}a_{32}a_{55}a_{64}a_{46}$.

\begin{tasks}(4)
\task [A.]  正、正。
\task [B.]  正、负。
\task [C.]  负、正。
\task [D.]  负、负。
\end{tasks}

{\color{red} 解答：B. 计算行指标的逆序数和列指标的逆序数，并加起来，可得
\begin{eqnarray*}
\pi(234516)+\pi(312645) &=& 4+4 = 8,\\
\pi(213564)+\pi(132546) &=& 3+2 = 5.
\end{eqnarray*}
因此这两项前面的符号分别为正号与负号。 

}

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\item %11
设有 $n$ 阶行列式 $D=|a_{ij}|_{n\times n}$, 若对任意 $1\le j<i\le n$ 都有 $a_{ij}=0$, 则称 $D$ 是上三角的。使用行列式的按第一列展开的定义和归纳法证明上三角行列式的值 $D=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$. 
下述说法中，不正确的是哪句？

\begin{enumerate}
\item[A.]  当 $n=2$ 时，直接可得 $D=a_{11}a_{22}$. 
\item[B.]  按第一行展开，得到 $D=a_{11}D_1$, 其中 $D_1$ 是一个 $n-1$ 阶的上三角行列式。
\item[C.]  按归纳假设，$D_1=a_{22}\cdots a_{nn}$. 
\item[D.]  从而得到 $D=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$. 
\end{enumerate}

{\color{red} 解答：B. 按第一列展开。才能得到 $D=a_{11}D_1$. 

}

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\item %12
使用行列式的性质计算行列式 
$D_4=\begin{vmatrix}
x-a&a&a&a \\
a&x-a&a&a \\
a&a&x-a&a \\
a&a&a&x-a \\
\end{vmatrix}$ 的值，并推广到 $n$ 阶的情形。

\begin{tasks}(2)
\task [A.]  $D_4=(x+2a)(x-2a)^2$. 
\task [B.]  $D_4=(x+2a)(x-2a)^3$. 
\task [C.]  $D_4=(x+3a)(x-2a)^2$. 
\task [D.]  $D_4=(x+3a)(x-2a)^3$. 
\end{tasks}

{\color{red} 解答：B. 将其余行都加到第一行，第一行的元素都成为 $x+2a$. 提出公因式，然后用第一行乘以 $-a$ 加到其余行，可得 $D_4=(x+2a)(x-2a)^3$. 一般情况可得 $D_n=(x+(n-2)a)(x-2a)^{n-1}$. 
}

%\newpage
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\item %13
使用行列式的性质计算行列式的值，
$ D=\begin{vmatrix}
a^2&(a+1)^2&(a+2)^2&(a+3)^2 \\
b^2&(b+1)^2&(b+2)^2&(b+3)^2 \\
c^2&(c+1)^2&(c+2)^2&(c+3)^2 \\
d^2&(d+1)^2&(d+2)^2&(d+3)^2 \\
\end{vmatrix}. $

\begin{tasks}(4)
\task [A.]  0.
\task [B.]  1.
\task [C.]  2.
\task [D.]  3.
\end{tasks}

{\color{red} 解答：A. 将第一列乘以 $-1$ 加到其余列，然后将第二列分别乘以 $-2$ 与 $-3$ 加到第三列与第四列，可得第三、四列成比例，所以 $D=0$. 

}

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\item %14
设 $d=\begin{vmatrix}
a&b&c \\
u&v&w \\
x&y&z \\
\end{vmatrix}$. 则行列式
$D=\begin{vmatrix}
b+c&c+a&a+b \\
v+w&w+u&u+v \\
y+z&z+x&x+y \\
\end{vmatrix}$ 的值是多少？

\begin{tasks}(4)
\task [A.]  $2d$. 
\task [B.]  $3d$. 
\task [C.]  $6d$.
\task [D.]  $8d$. 
\end{tasks}

{\color{red} 解答：A. 将第二、三列加到第一列，提出公因子2，然后将第一列乘以 $-1$ 加到第二、三列。然后再将第二、三列加到第一列。最后提出第二、三列的公因子 $-1$, 可得 $D=2d$. 

}

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\item %15
计算行列式 
$D=\begin{vmatrix}
0&a&b\\
-a&0&c\\
-b&-c&0\\
\end{vmatrix}$ 
的值，并将这个结论推广到一般情形。

\begin{tasks}(4)
\task [A.]  $0$.
\task [B.]  $abc$.
\task [C.]  $2abc$.
\task [D.]  $3abc$.
\end{tasks}

{\color{red} 解答：A. 观察到 $D$ 的转置是 $D$ 的每个元素都变成了相反数。每行提出公因子 $-1$, 得到 $D=(-1)^3D$. 所以 $D=0$. 一般情形，奇数阶的反对称矩阵的行列式的值都是零。


}

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\item %16
考虑下述行列式，设 $M_{ij}$ 和 $A_{ij}$ 分别为元素 $a_{ij}$ 对应的余子式和代数余子式，
\( D=\begin{vmatrix}
3&1&-1&2\\
-5&1&3&-4\\
2&0&1&-1\\
1&-5&3&-3\\
\end{vmatrix}. \)

(a) 计算表达式 $M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41}$ 的值。\\ 
(b) 计算表达式 $A_{11}+A_{21}+A_{31}+A_{41}$ 的值。

\begin{tasks}(4)
\task [A.]  5, 20. 
\task [B.]  4, 18.
\task [C.]  3, 16. 
\task [D.]  2, 14. 
\end{tasks}

{\color{red} 解答：B. 按照余子式的定义，$M_{ij}$ 是划去第 $i$ 行与第 $j$ 列后剩下的低一阶行列式。所以
\begin{eqnarray*}
M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41} 
&=& \begin{vmatrix} 1&3&-4\\ 0&1&-1\\ -5&3&-3\\ \end{vmatrix}
+\begin{vmatrix} 1&-1&2\\  0&1&-1\\ -5&3&-3\\ \end{vmatrix}
+\begin{vmatrix} 1&-1&2\\ 1&3&-4\\  -5&3&-3\\ \end{vmatrix}
+\begin{vmatrix} 1&-1&2\\ 1&3&-4\\ 0&1&-1\\  \end{vmatrix} \\ 
&=& \begin{vmatrix} 1&1&-1&2\\ 1&1&3&-4\\ 1&0&1&-1\\ 1&-5&3&-3\\ \end{vmatrix}
= 4. 
\end{eqnarray*}
其中倒数第2个等号是按照第一列展开。接着按照代数余子式的定义，$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$, 所以有
\begin{eqnarray*}
A_{11}+A_{21}+A_{31}+A_{41} 
=M_{11}-M_{21}+M_{31}-M_{41} 
= \begin{vmatrix} 1&1&-1&2\\ -1&1&3&-4\\ 1&0&1&-1\\ -1&-5&3&-3\\ \end{vmatrix}
= 18. 
\end{eqnarray*}
其中倒数第2个等号是按照第一列展开。
}

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\item %17
计算下述行列式的值，并将这个结论推广到一般情形，(提示：按第一列展开，使用归纳法)
\( D=\begin{vmatrix}
x&-1&0&0\\
0&x&-1&0\\
0&0&x&-1\\
d&c&b&x+a\\
\end{vmatrix}. \)

\begin{tasks}(2)
\task [A.]  $x^4-dx^3+cx^2-bx+a$.
\task [B.]  $x^4+dx^3+cx^2+bx+a$.
\task [C.]  $x^4-ax^3+bx^2-cx+d$.
\task [D.]  $x^4+ax^3+bx^2+cx+d$. 
\end{tasks}

{\color{red} 解答：D. 按第一列展开，分别计算二、三、四阶的情形，可得 
\begin{eqnarray*}
D_2&=& \begin{vmatrix} x&-1\\ b&x+a\\ \end{vmatrix} = x^2+ax+b, \\ 
D_3 &=& \begin{vmatrix} x&-1&0\\ 0&x&-1\\ c&b&x+a\\ \end{vmatrix} = x(x^2+ax+b)+c = x^3+ax^2+bx+c. \\ 
D_4 &=& \begin{vmatrix} x&-1&0&0\\ 0&x&-1&0\\ 0&0&x&-1\\ d&c&b&x+a\\ \end{vmatrix} 
= x(x^3+ax^2+bx+c)-d(-1)^3 = x^4+ax^3+bx^2+cx+d. 
\end{eqnarray*}

}

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\item %18
计算下述行列式的值，并将这个结论推广到一般情形，
\( D=\begin{vmatrix}
1&1&1&1\\
a&b&c&d\\
a^2&b^2&c^2&d^2\\
a^3&b^3&c^3&d^3\\
\end{vmatrix}. \)

\begin{enumerate}
\item[A.]  $(d+a)(d+b)(d+c)(c+a)(c+b)(b+a)$. 
\item[B.]  $(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)$. 
\item[C.]  $ab^2c^3+bc^2d^3+cd^2a^3+da^2b^3$. 
\item[D.]  $ab^2c^3-bc^2d^3+cd^2a^3-da^2b^3$. 
\end{enumerate}

{\color{red} 解答：B. 这是 Vandermonde 行列式，使用第三行消去第四行第一列的元素，然后使用第二行消去第三行第一列的元素，再使用第一行消去第二行第一列的元素，最后按照第一列展开。计算可得
\begin{eqnarray*}
D=(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a). 
\end{eqnarray*}

}

%\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %19
计算下述行列式的值，并将这个结论推广到一般情形，
\( D=\begin{vmatrix}
1&a&0&0\\
-1&1-a&b&0\\
0&-1&1-b&c\\
0&0&-1&1-c\\
\end{vmatrix}. \)

\begin{tasks}(4)
\task [A.]  $1$.
\task [B.]  $-1$.
\task [C.]  $abc$.
\task [D.]  $-abc$.
\end{tasks}

{\color{red} 解答：A. 将第一行加到第二行，再将第二行加到第三行，最后将第三行加到第四行，可得
\begin{eqnarray*}
D=\begin{vmatrix} 1&a&0&0\\ -1&1-a&b&0\\ 0&-1&1-b&c\\ 0&0&-1&1-c\\ \end{vmatrix} 
= \begin{vmatrix} 1&a&0&0\\ 0&1&b&0\\ 0&-1&1-b&c\\ 0&0&-1&1-c\\ \end{vmatrix} 
= \begin{vmatrix} 1&a&0&0\\ 0&1&b&0\\ 0&0&1&c\\ 0&0&-1&1-c\\ \end{vmatrix} 
= \begin{vmatrix} 1&a&0&0\\ 0&1&b&0\\ 0&0&1&c\\ 0&0&0&1\\ \end{vmatrix} 
=1. 
\end{eqnarray*}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %20
计算下述行列式的值，并将这个结论推广到一般情形，
\( D=\begin{vmatrix}
a&0&0&b\\
0&a&b&0\\
0&b&a&0\\
b&0&0&a\\
\end{vmatrix}. \)

\begin{tasks}(4)
\task [A.]  $a^4-b^4$. 
\task [B.]  $a^4+b^4$. 
\task [C.]  $(a^2-b^2)^2$. 
\task [D.]  $(a^2+b^2)^2$. 
\end{tasks}

{\color{red} 解答：C. 固定第一、四行，按照拉普拉斯展开，可得
\begin{eqnarray*}
D=\begin{vmatrix} a&0&0&b\\ 0&a&b&0\\ 0&b&a&0\\ b&0&0&a\\ \end{vmatrix}
= \begin{vmatrix} a&b\\ b&a\\ \end{vmatrix}\cdot 
(-1)^{1+4+1+4}\begin{vmatrix}  a&b \\ b&a\\  \end{vmatrix} 
= (a^2-b^2)^2. 
\end{eqnarray*}


}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %21
计算下述行列式的值，并将这个结论推广到一般情形，
\( D=\begin{vmatrix}
1+a&b&c&d\\
a&1+b&c&d\\
a&b&1+c&d\\
a&b&c&1+d\\
\end{vmatrix}. \)

\begin{tasks}(4)
\task [A.]  $a+b+c+d+1$. 
\task [B.]  $abcd+1$. 
\task [C.]  $ab+cd+1$. 
\task [D.]  $ac+bd+1$. 
\end{tasks}

{\color{red} 解答：A. 将第一列分拆成两列的和，可得
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
D_4 &=& \begin{vmatrix} 1+a&b&c&d\\ a&1+b&c&d\\ a&b&1+c&d\\ a&b&c&1+d\\ \end{vmatrix} 
= \begin{vmatrix} 1&b&c&d\\ 0&1+b&c&d\\ 0&b&1+c&d\\ 0&b&c&1+d\\ \end{vmatrix} 
+ \begin{vmatrix} a&b&c&d\\ a&1+b&c&d\\ a&b&1+c&d\\ a&b&c&1+d\\ \end{vmatrix} \\ 
&=& \begin{vmatrix}  1+b&c&d\\ b&1+c&d\\ b&c&1+d\\ \end{vmatrix} 
+ \begin{vmatrix} a&b&c&d\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{vmatrix} 
= D_3 + a 
= D_2 + b + a 
= 1 + d + c + b + a.
\end{eqnarray*}
}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %22
计算下述行列式的值，并将这个结论推广到一般情形，
\( D=\begin{vmatrix}
0&1&2&3\\
1&0&1&2\\
2&1&0&1\\
3&2&1&0\\
\end{vmatrix}. \)

\begin{tasks}(4)
\task [A.]  $12$. 
\task [B.]  $-12$. 
\task [C.]  $24$. 
\task [D.]  $-24$. 
\end{tasks}

{\color{red} 解答：B. 将第二行乘以 $-1$ 加到第一行，然后将第三行乘以 $-1$ 加到第二行，再将第四行乘以 $-1$ 加到第三行，可得
\begin{eqnarray*}
D=\begin{vmatrix} 0&1&2&3\\ 1&0&1&2\\ 2&1&0&1\\ 3&2&1&0\\ \end{vmatrix} 
=\begin{vmatrix} -1&1&1&1\\ 1&0&1&2\\ 2&1&0&1\\ 3&2&1&0\\ \end{vmatrix} 
=\begin{vmatrix} -1&1&1&1\\ -1&-1&1&1\\ 2&1&0&1\\ 3&2&1&0\\ \end{vmatrix} 
=\begin{vmatrix} -1&1&1&1\\ -1&-1&1&1\\ -1&-1&-1&1\\ 3&2&1&0\\ \end{vmatrix}.  
\end{eqnarray*}
然后将第四列分别加到第一、二、三列，可得
\begin{eqnarray*}
D=\begin{vmatrix} 0&2&2&1\\ 0&0&2&1\\ 0&0&0&1\\ 3&2&1&0\\ \end{vmatrix}. 
\end{eqnarray*}
按照第一列展开，可得
\begin{eqnarray*}
D=-3\begin{vmatrix} 2&2&1\\ 0&2&1\\ 0&0&1\\ \end{vmatrix} 
= (-3)(2)(2)(1)=-12. 
\end{eqnarray*}


}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %23
考虑下述行列式，
\( D=\begin{vmatrix}
a&b&0&0\\
c&d&0&0\\
0&0&u&v\\
0&0&x&y\\
\end{vmatrix}. \)
\begin{enumerate}
\item  按第一行展开的方式计算这个行列式的值。
\item  按第一行、第二行展开的方式计算这个行列式的值。
\end{enumerate}

\begin{tasks}(4)
\task [A.]  $(ad-bc)(uy-vx)$. 
\task [B.]  $(ad+bc)(uy+vx)$. 
\task [C.]  $aduy-bcvx$. 
\task [D.]  $aduy+bcvx$. 
\end{tasks}

{\color{red} 解答：A. 固定第一、二行，按照拉普拉斯展开，可得 
\begin{eqnarray*}
D=\begin{vmatrix}  a&b\\  c&d\\   \end{vmatrix} \cdot (-1)^{1+2+1+2}
\begin{vmatrix}   u&v\\ x&y\\  \end{vmatrix} 
=(ad-bc)(uy-vx). 
\end{eqnarray*}


}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %24
按照排列组合的方式，计算行列式的值，
\( D=\begin{vmatrix}
1&0&2&a\\
2&0&b&0\\
3&c&4&5\\
d&0&0&0\\
\end{vmatrix}. \)

\begin{tasks}(4)
\task [A.]  $abcd$. 
\task [B.]  $-abcd$. 
\task [C.]  $2abcd$. 
\task [D.]  $-2abcd$. 
\end{tasks}

{\color{red} 解答：A. 第四行只能选 $d$, 于是将第一列的1,2,3改成0. 
第二列只能选 $c$, 于是将第三行的4,5改成0. 
第二行只能选 $b$, 于是将第三列的2改成0. 
最终可得只有1项不为零，即 $$D=(-1)^{\pi(4321)}abcd=(-1)^6abcd=abcd. $$


}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}
